O teorema de Arzelà-Ascoli e sua aplicação em equações diferenciais ordinárias.

Abstract

Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar o Teorema de Arzelà-Ascoli, um importante resultado de Análise amplamente utilizado em diversas áreas da matemática pura. O Teorema de Arzelà-Ascoli estabelece critérios necessários e suficientes para garantir que um conjunto de funções contínuas, definidas em um espaço compacto, seja relativamente compacto em relação à convergência uniforme. Aplicou-se o teorema para garantir a existência de soluções de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). Para embasar essa pesquisa, abordamos conceitos fundamentais necessários ao desenvolvimento do tema. Inicialmente, revisamos definições elementares, seguidas pela apresentação e demonstração do Teorema de Arzelà-Ascoli. Então, concluímos a pesquisa aplicando o resultado ao Teorema de Peano.__Abstract: The objective of this monograph is to present the Arzelà-Ascoli Theorem, an important analysis result widely used in several areas of pure mathematics. The Arzelà-Ascoli Theorem establishes necessary and sufficient criteria to ensure that a set of continuous functions, defined in a compact space, is relatively compact with respect to uniform convergence. The theorem was applied to guarantee the existence of solutions of an Ordinary Differential Equation (ODE). To support this research, we address fundamental concepts necessary for the development of the topic. Initially, we review elementary definitions, followed by the presentation and demonstration of the Arzelà-Ascoli Theorem. Then, we conclude the research by applying the result to Peano’s Theorem.